몬티홀 딜레마

**몬티홀 딜레마(Monty Hall Dilemma)**는 확률론과 인지 편향에 대한 가장 유명하고 직관적으로 이해하기 어려운 문제 중 하나입니다. 미국의 인기 TV 게임 쇼 "Let's Make a Deal"의 사회자 몬티 홀의 이름을 따서 명명되었습니다.

문제 상황

당신은 게임 쇼에 참가했고, 세 개의 닫힌 문 중에 하나를 선택해야 합니다.

하나의 문 뒤에는 자동차가 있고,
나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다.

당신은 직관적으로 하나의 문을 선택합니다 (예: 1번 문). 당신이 문을 선택한 후, 몬티 홀 (사회자)은 자동차가 어디에 있는지 알고 있으며, 당신이 선택하지 않은 나머지 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 반드시 열어 보여줍니다. (예: 3번 문 뒤에 염소가 있음을 보여줍니다.)

이제 몬티 홀은 당신에게 질문합니다: "처음에 선택한 문을 그대로 유지하시겠습니까, 아니면 아직 닫혀 있는 다른 문(예: 2번 문)으로 바꾸시겠습니까?"

당신의 선택을 바꾸는 것이 유리할까요, 아니면 바꾸지 않는 것이 유리할까요, 아니면 아무런 차이가 없을까요?

직관의 오류

대부분의 사람들은 이 상황에서 다음과 같이 생각합니다. "이제 두 개의 문만 남아있고, 그중 하나에 자동차가 있으니, 어느 쪽을 선택하든 2분의 1의 확률로 자동차를 얻을 수 있을 거야. 굳이 선택을 바꿀 필요가 있을까?"

하지만 이 직관은 틀렸습니다.

올바른 답: 선택을 바꿔야 한다!

놀랍게도, 선택을 바꾸는 것이 자동차를 얻을 확률을 두 배로 높여줍니다.

선택을 바꾸지 않으면 자동차를 얻을 확률은 입니다.
선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률은 입니다.

왜 이런 결과가 나올까요?

이 현상을 이해하는 몇 가지 방법이 있습니다.

초기 선택의 확률:
- 처음에 당신이 자동차가 있는 문을 선택할 확률은 입니다. (이 경우, 선택을 바꾸면 염소를 얻게 됩니다.)
- 처음에 당신이 염소가 있는 문을 선택할 확률은 입니다. (이 경우, 몬티 홀은 나머지 염소 문을 열어줄 것이고, 당신이 선택을 바꾸면 반드시 자동차를 얻게 됩니다.)
당신이 염소 문을 선택했을 때 (의 확률), 몬티 홀이 염소 문을 열어준다는 조건 덕분에 남은 문은 자동으로 자동차가 있는 문이 됩니다. 따라서 바꾸는 것이 훨씬 유리합니다.
몬티 홀의 정보와 행동: 몬티 홀은 단순히 무작위로 문을 여는 것이 아니라, 자동차의 위치를 알고 있으며 염소 문을 연다는 중요한 정보를 가지고 있습니다. 이 점이 확률을 변화시킵니다. 만약 몬티 홀이 당신이 선택한 문 뒤에 자동차가 있는데도 그 문을 열어버리거나, 무작위로 열다가 자동차를 열어버린다면 확률은 달라집니다. 하지만 몬티 홀은 항상 '염소 문'을 열어줍니다.
총 3가지 시나리오: 당신이 처음에 1번 문을 선택했다고 가정해 봅시다.
- 시나리오 1: 자동차가 1번 문 뒤에 있을 때 (확률 )
  - 몬티 홀은 2번 또는 3번 중 염소가 있는 문을 엽니다.
  - 선택을 바꾸면 염소를 얻습니다.
- 시나리오 2: 자동차가 2번 문 뒤에 있을 때 (확률 )
  - 몬티 홀은 3번 문(염소)을 엽니다.
  - 선택을 바꾸면 자동차를 얻습니다.
- 시나리오 3: 자동차가 3번 문 뒤에 있을 때 (확률 )
  - 몬티 홀은 2번 문(염소)을 엽니다.
  - 선택을 바꾸면 자동차를 얻습니다.
위 세 가지 시나리오를 보면, 선택을 바꾸지 않으면 의 확률로 자동차를 얻고, 선택을 바꾸면 의 확률로 자동차를 얻는다는 것을 알 수 있습니다.
문의 개수를 늘려 생각해보기: 만약 문이 100개가 있다고 상상해 봅시다. 당신은 하나의 문(예: 1번 문)을 선택합니다. 몬티 홀은 당신이 선택하지 않은 99개의 문 중에서 자동차가 없는 98개의 문을 열어줍니다. 이제 1번 문과 다른 하나의 닫힌 문만 남았습니다. 처음에 1번 문에 자동차가 있을 확률은 입니다. 나머지 99개의 문 중 하나에 자동차가 있을 확률은 입니다. 몬티 홀이 98개의 염소 문을 열어주었다는 것은 당신이 선택하지 않은 99개의 문 중 '진짜 자동차가 있는 문'에 대한 확률을 남은 하나의 닫힌 문에 몰아준 것과 같습니다. 따라서 이 상황에서는 남은 하나의 문으로 바꾸는 것이 압도적으로 유리하다는 것을 직관적으로 이해할 수 있습니다.